群上调和分析( 二 ) _生活百科

?(x)在[0,2π]上有界且可积，则当n趋于无穷时?的傅立叶係数趋于0 。此外，黎曼还指出，有界可积函式?的傅立叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于?(x)在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。G.G.斯托克斯和 P.L.von赛德尔引进了函式项级数一致收敛性的概念以后，傅立叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H.E.海涅在1870年的一篇论文中指出，有界函式?(x)可以唯一地表示为三角级数这一结论，通常採用的论证方法是不完备的，因为傅立叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性。这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函式。这就促使G.（F.P.）康托尔研究函式用三角级数表示是否唯一的问题。这种唯一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨。G.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础。K.（T.W.）外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函式。他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函式只有在少数一些点上才不可求导。20世纪以来的发展勒贝格积分理论20世纪初，H.L.勒贝格引入了新的积分与点集测度的概念，对傅立叶分析的研究产生了深远的影响。这种积分与测度，现在称为勒贝格积分与勒贝格测度，已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒贝格用他的积分理论，把上面提到的黎曼的工作又推进了一步。例如，根据勒贝格积分的性质，任何勒贝格可积函式的傅立叶级数，不论收敛与否，都可以逐项积分。又例如，对于[0,2π]上勒贝格平方可积的函式，帕舍伐尔等式成立；傅立叶级数,特别是连续函式的傅立叶级数,是否必处处收敛？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先发现，存在连续函式，它的傅立叶级数在某些点上发散；后又证明，连续函式的傅立叶级数可以在一个无穷点集上处处发散。这反面结果的发现提醒人们对傅立叶级数的收敛性应持审慎态度。费耶尔求和法正是基于上述原因，1904年，匈牙利数学家L.费耶尔首次考虑用部分和的算术平均代替级数的部分和，证明了傅立叶级数部分和序列的算术平均，在函式的连续点上,必收敛于函式自身。这样,通过新的求和法，又能成功地用傅立叶级数表达连续函式。这无疑是傅立叶级数理论的一个重要进展。费耶尔之后，各种求和法相继产生。一门新的学科分支，发散级数的求和理论，就此应运而生。卢津猜想与此同时，傅立叶级数几乎处处收敛的问题，特别是所谓的卢津猜想，受到人们的重视（见卢津问题）。瑞典数学家L.卡尔森用十分精巧的方法，才证实了这一猜想的正确性。複变函数论方法傅立叶级数与单位圆内解析函式的理论有着非常密切的联繫。假设(1)是可积函式?的傅立叶级数，简单的计算表明，它是复变数z的幂级数(5)的实部。另一方面，级数(5)是单位圆内的解析函式,记为F(z) 。这样,傅立叶级数(1)可以通过单位圆内解析函式的理论来研究。这就是傅立叶分析中的複变函数论方法，它是20世纪前半叶研究傅立叶级数的一个重要工具。经典的H 空间概念进一步的研究导致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立单位圆上H空间的理论。他们研究了单位圆内使有界的解析函式F(z)，这里0<r<1，而p>0 。这类函式的全体，称为H空间，它是近代H空间理论的先驱。通过傅立叶级数刻画函式类是傅立叶分析中的重要课题,着名的帕舍伐尔公式以及里斯-费希尔定理反映了函式类